Question

【題目】如圖1所示，已知直線y＝kx+m與拋物線y＝ax2+bx+c分別交于x軸和y軸上同一點(diǎn)，交點(diǎn)分別是點(diǎn)B（6，0）和點(diǎn)C（0，6），且拋物線的對稱軸為直線x＝4；

（1）試確定拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBC是直角三角形？若存在請直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)，不存在請說明理由；

（3）如圖2，點(diǎn)Q是線段BC上一點(diǎn)，且CQ＝，點(diǎn)M是y軸上一個(gè)動點(diǎn)，求△AQM的最小周長．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，﹣2）或（4，10）或（4，3+）或P（4，3﹣）；（3）4．

【解析】

（1）求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)，從而可以求得拋物線的解析式；

（2））△ABP為直角三角形時(shí)，分別以三個(gè)頂點(diǎn)為直角頂點(diǎn)討論：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理列方程解決問題；

（3）求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），在x軸上取點(diǎn)G（﹣2，0），連接QG交y軸于點(diǎn)M，則此時(shí)△AQM的周長最小，求出QG+AQ的值即可得出答案．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，對稱軸為直線x＝4，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）．

∵拋物線y＝ax2+bx+c過點(diǎn)A（2，0），B（6，0），C（0，6），

解得a＝，b＝﹣4，c＝6．

∴拋物線的解析式為：y＝；

（2）設(shè)P（4，y），

∵B（6，0），C（0，6），

∴BC2＝62+62＝72，PB2＝22+y2，PC2＝42+（y﹣6）2，

當(dāng)∠PBC＝90°時(shí)，BC2+PB2＝PC2，

∴72+22+y2＝42+（y﹣6）2，

解得：y＝﹣2，

∴P（4，﹣2）；

當(dāng)∠PCB＝90°時(shí)，PC2+BC2＝PB2，

∴42+（y﹣6）2+72＝22+y2，

解得：y＝10，

∴P（4，10）；

當(dāng)∠BPC＝90°時(shí)，PC2+PB2＝BC2．

∴42+（y﹣6）2+22+y2＝72，

解得：y＝ ．

∴P（4，）或P（4，）．

綜合以上可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，﹣2）或（4，10）或（4，3+）或P（4，3﹣）．

（3）過點(diǎn)Q作QH⊥y軸于點(diǎn)H，

∵B（6，0），C（0，6），

∴OB＝6，OC＝6，

∴∠OCB＝45°，

∴∠CQH＝∠HCQ＝45°，

∵CQ＝，

∴CH＝QH＝

∴OH＝

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），

在x軸上取點(diǎn)G（﹣2，0），連接QG交y軸于點(diǎn)M，則此時(shí)△AQM的周長最小，

∴AQ＝

QG＝

∴AQ+QG＝

∴△AQM的最小周長為4．