Question

【題目】已知，如圖：正方形ABCD，將Rt△EFG斜邊EG的中點(diǎn)與點(diǎn)A重合，直角頂點(diǎn)F落在正方形的AB邊上，Rt△EFG的兩直角邊分別交AB、AD邊于P、Q兩點(diǎn)，（點(diǎn)P與點(diǎn)F重合），如圖1所示：

（1）求證：EP2+GQ2=PQ2；

（2）若將Rt△EFG繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤90°），兩直角邊分別交AB、AD邊于P、Q兩點(diǎn)，如圖2所示：判斷四條線段EP、PF、FQ、QG之間是否存在什么確定的相等關(guān)系？若存在，證明你的結(jié)論．若不存在，請說明理由；

（3）若將Rt△EFG繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)α（90°＜α＜180°），兩直角邊所在的直線分別交BA、AD兩邊延長線于P、Q兩點(diǎn)，并判斷四條線段EP、PF、FQ、QG之間存在何種確定的相等關(guān)系？按題意完善圖3，請直接寫出你的結(jié)論（不用證明）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）PF2+FQ2=EP2+GQ2；（3）四條線段EP、PF、FQ、QG之間的關(guān)系為PF2+GQ2=PE2+FQ2．

【解析】

（1）過點(diǎn)E作EH∥FG，由此可證△EAH≌△GAQ，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EH=QG，又PQ=PH，在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，由此可以得到EP2+GQ2=PQ2；

（2）過點(diǎn)E作EH∥FG，交DA的延長線于點(diǎn)H，連接PQ、PH，由此可證△EAH≌△GAQ，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EH=QG，又PH=PQ，在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，即EP2+GQ2=PH2，在Rt△PFQ中，PF2+FQ2=PQ2，故PF2+FQ2=EP2+GQ2；

（3）四條線段EP、PF、FQ、QG之間的關(guān)系為PE2+GQ2=PF2+FQ2，證明方法同上．

（1）過點(diǎn)E作EH∥FG，連接AH、FH，如圖所示：

∵EA=AG，∠HEA=∠AGQ，∠HAE=∠GAD，

∴△EAH≌△GAQ，

∴EH=QG，HA=AQ，

∵FA⊥AD，

∴PQ=PH．

在Rt△EPH中，

∵EP2+EH2=PH2，

∴EP2+GQ2=PQ2；

（2）過點(diǎn)E作EH∥FG，交DA的延長線于點(diǎn)H，連接PQ、PH，

∵EA=AG，∠HEA=∠AGQ，∠HAE=∠GAD，

∴△EAH≌△GAQ，

∴EH=QG，HA=AQ，

∵PA⊥AD，

∴PQ=PH．

在Rt△EPH中，

∵EP2+EH2=PH2，

∴EP2+GQ2=PH2．

在Rt△PFQ中，

∵PF2+FQ2=PQ2，

∴PF2+FQ2=EP2+GQ2．

（3）四條線段EP、PF、FQ、QG之間的關(guān)系為PF2+GQ2=PE2+FQ2．