Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸相交于、兩點，與軸交于點，且tan.設(shè)拋物線的頂點為，對稱軸交軸于點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）為拋物線的對稱軸上一點，為軸上一點，且.

①當(dāng)點在線段(含端點)上運動時，求的變化范圍；

②當(dāng)取最大值時，求點到線段的距離；

③當(dāng)取最大值時，將線段向上平移個單位長度，使得線段與拋物線有兩個交點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①②2③

【解析】

（1）由解析式可知點A（-2，0），點B（6,0）根據(jù)，可得OC=3，即點C（0,3），代入解析式即可求a.

（2）①由解析式求得頂點M(2,4)，設(shè)P點坐標(biāo)為（2，m）（其中0≤m≤4），利用勾股定理將PC、PQ、CQ用含m，n的式子表示，再利用△PCQ為直角三角形，可利用勾股定理得PC2+PQ2=CQ2，將含m，n的式子代入整理可得一個關(guān)于m，n的二次函數(shù)，且0≤m≤4，通過二次函數(shù)增減性可求得n取值范圍.

②當(dāng)n取最大值4時，m=4，可得點P（2,4），Q（4,0），故可求得PC=，PQ=2，CQ=5，利用直角三角形等面積法可求得點到線段CQ距離

③由題意求得線段的解析式為：，故可設(shè)線段向上平移個單位長度后的解析式為：，當(dāng)線段向上平移，使點恰好在拋物線上時，線段與拋物線有兩個交點，此時可求對應(yīng)的點的縱坐標(biāo)為，進而求得此時t值，當(dāng)線段繼續(xù)向上平移，線段與拋物線只有一個交點時，聯(lián)解拋物線與CQ’的解析式并化簡得一元二次方程，有一個交點可知由，得此時t值，即可解題.

解：（1）根據(jù)題意得：,，

在中

，且,

∴，

,將點坐標(biāo)代入得：，

故拋物線解析式為：；

（2）①由（1）知，拋物線的對稱軸為：x=2，頂點M(2,4)，

設(shè)P點坐標(biāo)為（2，m）（其中0≤m≤4），

則PC2=22+(m-3)2，PQ2=m2+(n-2)2，CQ2=32+n2，

∵PQ⊥PC，

∴在Rt△PCQ中中，由勾股定理得：PC2+PQ2=CQ2,

即22+(m-3)2+ m2+(n-2)2=32+n2，整理得：

n==（0≤m≤4），

∴當(dāng)時，n取得最小值為；當(dāng)時，n取得最大值為4，

∴≤n≤4；

②由①知：當(dāng)n取最大值4時，m=4，

∴P（2,4），Q（4,0）

則PC=，PQ=2，CQ=5，

設(shè)點P到線段CQ距離為，

由，

得：

故點到線段距離為；

③由②可知：當(dāng)取最大值4時，，

線段的解析式為：，

設(shè)線段向上平移個單位長度后的解析式為：，

當(dāng)線段向上平移，使點恰好在拋物線上時，線段與拋物線有兩個交點

此時對應(yīng)的點的縱坐標(biāo)為：，

將代入得：，

當(dāng)線段繼續(xù)向上平移，線段與拋物線只有一個交點時，

聯(lián)解

得：，化簡得：

，

由，得，

當(dāng)線段與拋物線有兩個交點時，.