【題目】如圖,矩形的邊OAx軸上,邊OCy軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(10,8),沿直線OD折疊矩形,使點(diǎn)A正好落在BC上的E處,E點(diǎn)坐標(biāo)為(6,8),拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、A、E三點(diǎn).

1)求此拋物線的解析式;

2)求AD的長;

3)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一動點(diǎn),當(dāng)△PAD的周長最小時,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】1y=;(2AD=5;(3)(5,

【解析】

試題(1)利用矩形的性質(zhì)和B點(diǎn)的坐標(biāo)可求出A點(diǎn)的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式;(2)設(shè)AD=x,利用折疊的性質(zhì)可知DE=AD,在Rt△BDE中,利用勾股定理可得到關(guān)于x的方程,可求得AD的長;(3)由于O、A兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱,所以連接OD,與對稱軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)P,利用待定系數(shù)法可求得直線OD的解析式,再由拋物線解析式可求得對稱軸方程,從而可求得P點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析:(1四邊形ABCD是矩形,B108),

∴A100), 又拋物線經(jīng)過AE、O三點(diǎn),把點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得,解得, 拋物線的解析式為y=﹣x2+x

2)由題意可知:AD=DE,BE=10﹣6=4,AB=8, 設(shè)AD=x,則ED=x,BD=AB﹣AD=8﹣x

Rt△BDE中,由勾股定理可知ED2=EB2+BD2,即x2=42+8﹣x2,解得x=5, ∴AD=5

3∵y=﹣x2+x其對稱軸為x=5, ∵AO兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱, ∴PA=PO

當(dāng)P、OD三點(diǎn)在一條直線上時,PA+PD=PO+PD=OD,此時△PAD的周長最小,

如圖,連接OD交對稱軸于點(diǎn)P,則該點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)P,

由(2)可知D點(diǎn)的坐標(biāo)為(105),

設(shè)直線OD解析式為y=kx,把D點(diǎn)坐標(biāo)代入可得5=10k,解得k=, 直線OD解析式為y=x,

x=5,可得y=, ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(5,).

練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖乙,是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形,,點(diǎn)P為射線BD,CE的交點(diǎn).

如圖甲,將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),當(dāng)C、D、E在同一條直線上時,連接BD、BE,則下列給出的四個結(jié)論中,其中正確的是______.

,,把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),

當(dāng)時,求PB的長;

求旋轉(zhuǎn)過程中線段PB長的最大值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】兩條拋物線的兩個交點(diǎn)、都在軸上,拋物線的頂點(diǎn)為.

(1)求拋物線的解析式;

(2)軸正半軸上有一點(diǎn),當(dāng)時,求的面積;

(3)判斷在軸上是否存在點(diǎn),使點(diǎn)繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn),得到點(diǎn)恰好落在拋物線?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】綜合與實(shí)踐:

問題情境:在矩形ABCD中,點(diǎn)EBC邊的中點(diǎn),將ABE沿直線AE翻折,使點(diǎn)B與點(diǎn)F重合,直線AF交直線CD于點(diǎn)G.

特例探究 實(shí)驗(yàn)小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn):

1)如圖1,當(dāng)ABBC時,AGBCCG,請你證明該小組發(fā)現(xiàn)的結(jié)論;

2)當(dāng)ABBC4時,求CG的長;

延伸拓展:(3)實(shí)知小組的同學(xué)在實(shí)驗(yàn)小組的啟發(fā)下,進(jìn)一步探究了當(dāng)ABBC2時,線段AG,BC,CG之間的數(shù)量關(guān)系,請你直接寫出實(shí)知小組的結(jié)論:___________

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知直線x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,與雙曲線分別交于點(diǎn)C,D,且點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

1)分別求出直線、雙曲線的函數(shù)表達(dá)式.

2)求出點(diǎn)D的坐標(biāo).

3)利用圖象直接寫出:當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)P是線段AD上任意一點(diǎn),點(diǎn)QBC上一點(diǎn),且AP=CQ.

(1)求證:BP=DQ;

(2)若AB=4,且當(dāng)PD=5時四邊形PBQD為菱形.求AD為多少.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】綜合與實(shí)踐:

操作與發(fā)現(xiàn):

如圖,已知A,B兩點(diǎn)在直線CD的同一側(cè),線段AE,BF均是直線CD的垂線段,且BFAE的右邊,AE2BF,將BF沿直線CD向右平移,在平移過程中,始終保持∠ABP90°不變,BP邊與直線CD相交于點(diǎn)P,點(diǎn)GAE的中點(diǎn),連接BG

探索與證明:求證:

1)四邊形EFBG是矩形;

2ABG∽△PBF

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣(m﹣2)=0有實(shí)數(shù)根.

(1)求m的取值范圍;

(2)若方程有一個根為x=1,求m的值及另一個根.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一般情況下,中學(xué)生完成數(shù)學(xué)家庭作業(yè)時,注意力指數(shù)隨時間x(分鐘)的變化規(guī)律如圖所示(其中AB、BC為線段,CD為雙曲線的一部分).

(1)分別求出線段AB和雙曲線CD的函數(shù)關(guān)系式;

(2)若學(xué)生的注意力指數(shù)不低于40為高效時間,根據(jù)圖中信息,求出一般情況下,完成一份數(shù)學(xué)家庭作業(yè)的高效時間是多少分鐘?

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