【題目】如圖1,在直角坐標系中,A(0,3),B(3,0),點D為射線OB上一動點(D不與O、B重合),以AD為邊在AD右側作正方形ADEF,連BF、AE相交于點G.
(1)若點D坐標為(a2+,0),且a+,求F點坐標;
(2)在(1)的條件下,求AG的長;
(3)如圖2,當D點在線段OB延長線上時,若BD:BF=14,求BG的長.
【答案】(1)F(3,4);(2);(3).
【解析】
(1)先求出點D的坐標,根據(jù)勾股定理求出AD,再判斷出△AOD≌△AHF,即可得出結論;(2)先判斷△AOD∽△FEM,進而求出EM=,再判斷出△EGM∽△AGF,得出,即可得出結論;(3)同(1)的方法得出F(3,a+3),得出BF∥OA,再求出a=5,即可得出BF=8,BD=2,再判斷出△DBN∽△DOA,求出BN=,DN=,利用勾股定理求出AD=,進而得出AN=,同(2)的方法得,得出NG=FG,即可得出結論.
(1)如圖1,
∵a+,
兩邊平方得,(a+)2=3,
∴a2+=1,∴D(1,0),
∴OD=1,
∵A(0,3),
∴OA=3,
在Rt△AOD中,OA=3,OD=1,根據(jù)勾股定理得,AD=,
∵四邊形ADEF是正方形,
∴∠DEF=∠DAF=90°,AF=DE=EF=AD=,
∴∠DAO+∠FAH=90°,
∵∠DAO+∠ADO=90°,
∴∠ADO=∠FAH,
∵∠AOD=∠FHA=90°,
∴△AOD≌△AHF(AAS),
∴FH=OA=3,AH=OD=1,
∴OH=OA+AH=4,
∴F(3,4);
(2)由(1)知,F(3,4),
∵B(3,0),
∴BF∥OA,
∴BF⊥OB,
∴∠OBF=90°,BF=4,
∵BF∥OA,AD∥EF,
∴∠OAD=∠EFM,
∵∠AOD=∠FEM=90°,
∴△AOD∽△FEM,
∴=,
∴=,
∴EM=,
∵AF∥DE,
∴△EGM∽△AGF,
∴==,
∵AE是正方形ADEF的對角線,
∴AE=AD=2,
∴AG=AE=.
(3)如圖2,設點D(a,0)(a>3)
過點F作FH⊥OA于H,
同(1)的方法得,△AOD≌△AHF(AAS),
∴FH=OA=3,AH=OD=a,
∴OH=OA+AH=a+3,
∴F(3,a+3);
∵B(3,0),
∴BF∥OA,BF=a+3,BD=a﹣3,
∵BD:BF=1:4,
∴(a﹣3):(a+3)=1:4,
∴a=5,
∴D(5,0),
∴F(3,8),OD=5,
∴BF=8,BD=2,
∵BF∥OA,
∴△DBN∽△DOA,
∴,
∴,
∴BN=,DN=,
在Rt△AOD中,根據(jù)勾股定理得,AD=,
∵四邊形ADEF是正方形,
EF=AD=,
∴AN=AD﹣DN=,
同(2)的方法得,△AGN∽△EGF,∴,
∴=,
∴NG=FG.
∵FG+NG=BF﹣BN=,
∴FG+FG=,
∴FG=,
∴BG=BF﹣FG=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)如圖(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直線m經(jīng)過點A,BD⊥直線m, CE⊥直線m,垂足分別為點D、E.證明:DE=BD+CE.
(2) 如圖(2),將(1)中的條件改為:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三點都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中為任意銳角或鈍角.請問結論DE=BD+CE是否成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由.
(3)拓展與應用:如圖(3),D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點(D、A、E三點互不重合),點F為∠BAC平分線上的一點,且△ABF和△ACF均為等邊三角形,連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,試判斷△DEF的形狀.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°。
①當點D在AC上時,如圖1,線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關系和位置關系?寫出你猜想的結論,并說明理由;
②將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉α角(0°<α<90°),如圖2,線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關系和位置關系?請說明理由。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,將長方形ABCD對折,得折痕PQ,展開后再沿MN翻折,使點C恰好落在折痕PQ上的點C′處,點D落在D′處,其中M是BC的中點且MN與折痕PQ交于F.連接AC′,BC′,則圖中共有等腰三角形的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖已知△ABC.
(1)請用尺規(guī)作圖法作出BC的垂直平分線DE,垂足為D,交AC于點E, (保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)請用尺規(guī)作圖法作出∠C的角平分線CF,交AB于點F,(保留作圖痕跡,不寫作法);
(3)請用尺規(guī)作圖法在BC上找出一點P,使△PEF的周長最小.(保留作圖痕跡,不寫作法).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,則下列結論
①a>0,②b>0,③c>0,④b2﹣4ac>0
其中正確的有( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從﹣2,﹣ , ,1,3五個數(shù)中任選1個數(shù),記為a,它的倒數(shù)記為b,將a,b代入不等式組 中,能使不等式組至少有兩個整數(shù)解的概率是 .
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