Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C （0，3），點(diǎn)P在該拋物線的對(duì)稱軸上，且縱坐標(biāo)為2．

（1）求拋物線的表達(dá)式以及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍時(shí)，我們稱α為此三角形的“特征角”．

①當(dāng)D在射線AP上，如果∠DAB為△ABD的特征角，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②點(diǎn)E為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)F在x軸上，CE⊥EF，如果∠CEF為△ECF的特征角，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；點(diǎn)P（1，2）；（2）①D（0，）或（3，4）；②點(diǎn)E（，）．

【解析】

（1）拋物線y＝﹣x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C （0，3），則c＝3，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：b＝2，即可求解；

（2）①當(dāng)α＝60°，∠DBA＝β＝30°時(shí)，△ABD為直角三角形，即可求解；當(dāng)∠ADB＝β時(shí)，則∠ABD＝90°，即可求解；

②∠CEF為△ECF的特征角，則△CEF為等腰直角三角形，則△CNE≌△EMF（AAS），即可求解．

解：

（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C（0，3），則c＝3，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：b＝2，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；

點(diǎn)P（1，2）；

（2）由點(diǎn)A、P的坐標(biāo)知，∠PAB＝60，

直線AP的表達(dá)式為：y＝（x+1）…①，

當(dāng)α＝60，∠DBA＝β＝30時(shí)，

△ABD為直角三角形，由面積公式得：

yD×AB＝ADBD，即yD×4＝2×2，

解得：yD＝，

點(diǎn)D在AP上，故點(diǎn)D（0，）；

當(dāng)∠ADB＝β時(shí)，則∠ABD＝90，

故點(diǎn)D（3，4）；

綜上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（0，）或（3，4）；

（3）∠CEF為△ECF的特征角，則△CEF為等腰直角三角形，

過點(diǎn)E分別作x軸、y軸的垂線交于點(diǎn)M、N，

則△CNE≌△EMF（AAS），

則EN＝EM，即x＝y，

x＝y＝﹣x2+2x+3，解得：x＝；

故點(diǎn)E（，）．