【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(﹣1,0)、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C (0,3),點(diǎn)P在該拋物線的對(duì)稱軸上,且縱坐標(biāo)為2.
(1)求拋物線的表達(dá)式以及點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角β的兩倍時(shí),我們稱α為此三角形的“特征角”.
①當(dāng)D在射線AP上,如果∠DAB為△ABD的特征角,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
②點(diǎn)E為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)F在x軸上,CE⊥EF,如果∠CEF為△ECF的特征角,求點(diǎn)E的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;點(diǎn)P(1,2);(2)①D(0,)或(3,4);②點(diǎn)E(,).
【解析】
(1)拋物線y=﹣x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C (0,3),則c=3,將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得:b=2,即可求解;
(2)①當(dāng)α=60°,∠DBA=β=30°時(shí),△ABD為直角三角形,即可求解;當(dāng)∠ADB=β時(shí),則∠ABD=90°,即可求解;
②∠CEF為△ECF的特征角,則△CEF為等腰直角三角形,則△CNE≌△EMF(AAS),即可求解.
解:
(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C(0,3),則c=3,
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得:b=2,
故拋物線的表達(dá)式為:y=﹣x2+2x+3;
點(diǎn)P(1,2);
(2)由點(diǎn)A、P的坐標(biāo)知,∠PAB=60,
直線AP的表達(dá)式為:y=(x+1)…①,
當(dāng)α=60,∠DBA=β=30時(shí),
△ABD為直角三角形,由面積公式得:
yD×AB=ADBD,即yD×4=2×2,
解得:yD=,
點(diǎn)D在AP上,故點(diǎn)D(0,);
當(dāng)∠ADB=β時(shí),則∠ABD=90,
故點(diǎn)D(3,4);
綜上,點(diǎn)D的坐標(biāo)為:(0,)或(3,4);
(3)∠CEF為△ECF的特征角,則△CEF為等腰直角三角形,
過點(diǎn)E分別作x軸、y軸的垂線交于點(diǎn)M、N,
則△CNE≌△EMF(AAS),
則EN=EM,即x=y,
x=y=﹣x2+2x+3,解得:x=;
故點(diǎn)E(,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC為直角三角形,∠C=90°,BC=2cm,∠A=30°,四邊形DEFG為矩形,DE=2cm,EF=6cm,且點(diǎn)C、B、E、F在同一條直線上,點(diǎn)B與點(diǎn)E重合.Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的邊EF向右平移,當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)停止.設(shè)Rt△ABC與矩形DEFG的重疊部分的面積為ycm2,運(yùn)動(dòng)時(shí)間xs.能反映ycm2與xs之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是( 。
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】霧霾天氣給人們的生活帶來很大影響,空氣質(zhì)量問題備受人們關(guān)注,為了減少霧霾影響,某單位計(jì)劃為職工購(gòu)買、兩種型號(hào)的防霾口罩.已知每個(gè)種型號(hào)防霾口罩價(jià)格比每個(gè)種型號(hào)防霾口罩價(jià)格多元,花元購(gòu)買種型號(hào)防霾口罩和花元購(gòu)買種型號(hào)防霾口罩的數(shù)量相同.
(1)求、兩種型號(hào)防霾口罩每個(gè)價(jià)格各多少元?
(2)根據(jù)單位實(shí)際情況,需購(gòu)買、兩種型號(hào)防霾口罩共個(gè),總費(fèi)用不高于萬元,求種型號(hào)防霾口罩至少要購(gòu)買多少個(gè)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A(1,4),B(4,n)兩點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)直接寫出當(dāng)x>0時(shí),的解集.
(3)點(diǎn)P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)P并求出它的坐標(biāo),使PA+PB最。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】實(shí)踐:如圖△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖,并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母.(保留作圖痕跡,不寫作法)
(1)作∠BAC的平分線,交BC于點(diǎn)O.
(2)以O為圓心,OC為半徑作圓.
綜合運(yùn)用:在你所作的圖中,
(1)AB與⊙O的位置關(guān)系是_____ .(直接寫出答案)
(2)若AC=5,BC=12,求⊙O 的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今年4月22日是第50個(gè)世界地球日,某校在八年級(jí)5個(gè)班中,每班各選拔10名學(xué)生參加“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”并評(píng)出了一、二、三等獎(jiǎng)各若干名,學(xué)校將獲獎(jiǎng)情況繪成如圖所示的不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)你根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)求本次競(jìng)賽獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù),并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中“二等獎(jiǎng)”所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù);
(3)已知甲、乙、丙、丁4位同學(xué)獲得一等獎(jiǎng),學(xué)校將采取隨機(jī)抽簽的方式在4人中選派2人參加上級(jí)團(tuán)委組織的“愛護(hù)環(huán)境、保護(hù)地球”知識(shí)競(jìng)賽,請(qǐng)求出抽到的2人恰好是甲和乙的概率(用畫樹狀圖或列表等方法求解).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將矩形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后,BC的對(duì)應(yīng)邊B′C交CD邊于點(diǎn)G,如果當(dāng)AB′=B′G時(shí)量得AD=7,CG=4,連接BB′、CC′,那么=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,延長(zhǎng)AC到E,使CE=CO,連接EB,ED.
(1)求證:EB=ED;
(2)過點(diǎn)A作AF⊥AD,交BC于點(diǎn)G,交BE于點(diǎn)F,若∠AEB=45°,
①試判斷△ABF的形狀,并加以證明;
②設(shè)CE=m,求EF的長(zhǎng)(用含m的式子表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某數(shù)學(xué)興趣小組,利用樹影測(cè)量樹高,如圖(1),已測(cè)出樹AB的影長(zhǎng)AC為12米,并測(cè)出此時(shí)太陽光線與地面成30°夾角.
(1)求出樹高AB;
(2)因水土流失,此時(shí)樹AB沿太陽光線方向倒下,在傾倒過程中,樹影長(zhǎng)度發(fā)生了變化,假設(shè)太陽光線與地面夾角保持不變.求樹的最大影長(zhǎng).(用圖(2)解答)
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