Question

12．已知圓O：x²+y²=1，點P（x₀，y₀）在直線l：x-y+2=0上．若在圓O上存在點Q，使∠OPQ=30°，則x₀的取值范圍是（　�。�

• A． [-2，0]
• B． [-1，2]
• C． $[{0，\sqrt{2}}]$
• D． $[{-1，\sqrt{3}}]$

Answer 1

分析 當∠OQP=90°時，∠OPQ最大，此時，由∠OPQ=30°，得|OP|=2，當|OP|＞2時，∠OPQ＜30°，可得$|OP|=\sqrt{x_0^2+y_0^2}≤2$，即$x_0^2+y_0^2≤4$，結(jié)合y₀=x₀+2，進而得出答案．

解答 解：對于圓O：x²+y²=1外的點P和圓上點Q，當∠OQP=90°時，∠OPQ最大，此時，由∠OPQ=30°，得|OP|=2，當|OP|＞2時，∠OPQ＜30°，∴$|OP|=\sqrt{x_0^2+y_0^2}≤2$，即$x_0^2+y_0^2≤4$，
又x₀-y₀+2=0，即y₀=x₀+2，
∴$x_0^2+y_0^2=x_0^2+{（{x_0}+2）^2}≤4$，解得-2≤x₀≤0，
故選A．

點評 本題考查了直線與圓相切的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于中檔題．