Question

20．已知函數(shù)f（x）=ln$\frac{x+1}{x-1}$．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域，并判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）對于x∈[2，6]，f（x）＞ln$\frac{m}{（x-1）（7-x）}$恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對數(shù)函數(shù)的指數(shù)大于0，從而求解定義域．根據(jù)函數(shù)的奇偶性進行判斷即可．
（2）利用對數(shù)函數(shù)的性質化簡不等式，轉化為二次函數(shù)的問題求解m的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ln$\frac{x+1}{x-1}$，
∴$\frac{x+1}{x-1}$＞0，
解得：x＞1或x＜-1，
函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞1或x＜-1}．
f（x）=ln$\frac{x+1}{x-1}$，
那么：f（-x）=ln$\frac{1-x}{-x-1}$=ln（$\frac{x-1}{x+1}$）=ln$（\frac{x+1}{x-1}）^{-1}$=-ln$\frac{x+1}{x-1}$=-f（x）
故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）由題意：x∈[2，6]，
∴（x-1）（7-x）＞0，
∵$\frac{m}{（x-1）（7-x）}$＞0，可得：m＞0．
即：ln$\frac{x+1}{x-1}$＞ln$\frac{m}{（x-1）（7-x）}$恒成立，
整理：ln$\frac{x+1}{x-1}$-ln$\frac{m}{（x-1）（7-x）}$＞0，
化簡：ln$\frac{（x+1）（7-x）}{m}$＞0，
可得：$\frac{（x+1）（7-x）}{m}$＞1，
（x+1）（7-x）-m＞0，即：-x²+6x+7＞m，（x∈[2，6]）恒成立，只需m小于-x²+6x+7的最小值．
令：y=-x²+6x+7=-（x-3）²+16
開口向下，x∈[2，6]，
當x=6時，y取得最小值，即${y}_{min}=-（6-3）^{2}+16=7$，
所以：實數(shù)m的取值范圍（0，7）．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質的運用能力和化簡計算能力．屬于基礎題．