Question

15．已知奇函數f（x）定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），f′（x）為其導函數，且滿足以下條件①x＞0時，f′（x）＜$\frac{3f（x）}{x}$；②f（1）=$\frac{1}{2}$；③f（2x）=2f（x），則不等式$\frac{f（x）}{4x}$＜2x²的解集為（-$∞，-\frac{1}{4}$）$∪（\frac{1}{4}，+∞）$．

Answer 1

分析 構造函數F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，依題意，可分析得到F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$為偶函數，在（0，+∞）上單調遞減，在（-∞，0）上單調遞增，由$\frac{f（x）}{4x}$＜2x²等價于$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$＜8，由f（1）=$\frac{1}{2}$及f（2x）=2f（x），求得F（$\frac{1}{4}$）=8，則F（x）＜F（$\frac{1}{4}$），從而可得答案．

解答 解：令F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，則F′（x）=$\frac{xf′（x）-3f（x）}{{x}^{4}}$，
∵x＞0時，f′（x）＜$\frac{3f（x）}{x}$，
∴F′（x）＜0，
∴F（x）在（0，+∞）上單調遞減，又f（x）為奇函數，
∴F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$為偶函數，
∴F（x）在（-∞，0）上單調遞增，
又f（1）=$\frac{1}{2}$，f（2x）=2f（x），
∴f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{4}$，f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{8}$，
∴F（$\frac{1}{4}$）=$\frac{f（\frac{1}{4}）}{（\frac{1}{4}）^{3}}$=8，
∴$\frac{f（x）}{4x}$＜2x²等價于$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$＜8，即F（x）＜F（$\frac{1}{4}$），故|x|＞$\frac{1}{4}$，
解得：x＞$\frac{1}{4}$或x＜-$\frac{1}{4}$．
故答案為：（-∞，-$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，+∞）．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查學生根據題意構造輔助函數的能力，考查分析、推理與邏輯思維能力，屬于難題．