Question

15．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S₃=0，S_n=5，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$}的前2016項(xiàng)的和為-$\frac{2016}{4031}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解方程組即可求{a_n}的通項(xiàng)公式；求出求數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法即可求前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得 $\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=0}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=5}\end{array}\right.$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=0}\\{{a}_{1}+2d=1}\end{array}\right.$，解得a₁=-1，d=1，
則{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=-1+（n-1）=n-2；
所以 $\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n-3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$），
則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}$（-1-1+1-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$）=$\frac{1}{2}$（-1-$\frac{1}{2n-1}$）=$\frac{n}{1-2n}$．
所以數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$}的前2016項(xiàng)的和為：$\frac{2016}{1-2016×2}$=-$\frac{2016}{4031}$．
故答案是：-$\frac{2016}{4031}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，以及利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力．