Question

12．已知數列{a_n}各項為正，S_n為其前n項和，滿a_n+1=2S_n-1且a₁=1，則a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 a_n+1=2S_n-1且a₁=1，n≥2時，可得：a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n，n=1時，a₂=1．數列{a_n}從第二項起是等比數列，公比為3．即可得出．

解答 解：∵a_n+1=2S_n-1且a₁=1，∴n≥2時，a_n=2S_n-1-1，可得：a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n，
n=1時，a₂=2a₁-1=1．
∴數列{a_n}從第二項起是等比數列，公比為3．
∴a_n=1×3^n-2．
可得：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等比數列的通項公式、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．