Question

12．已知數(shù)列{a_n}各項(xiàng)為正，S_n為其前n項(xiàng)和，滿a_n+1=2S_n-1且a₁=1，則a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 a_n+1=2S_n-1且a₁=1，n≥2時(shí)，可得：a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n，n=1時(shí)，a₂=1．?dāng)?shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列，公比為3．即可得出．

解答 解：∵a_n+1=2S_n-1且a₁=1，∴n≥2時(shí)，a_n=2S_n-1-1，可得：a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n，
n=1時(shí)，a₂=2a₁-1=1．
∴數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列，公比為3．
∴a_n=1×3^n-2．
可得：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．