Question

1．如圖所示，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD=60°，四邊形ABEF是正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，點(diǎn)G，H分別為邊CD，DA的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段BE上一動點(diǎn)．
（1）求證：GH⊥DM；
（2）求三棱錐D-MGH的體積的最大值．

Answer 1

分析 （1）連接AC，BD交于點(diǎn)O，證明AC⊥BD，BE⊥AC，然后證明AC⊥平面BDE，證明AC∥GH，可得GH⊥DM．
（2）利用等體積法，要求三棱錐D-MGH的體積的最大值，只需求出線段BM的最大值，推出點(diǎn)M與點(diǎn)E重合，三棱錐D-MGH的體積的最大值．

解答 解：（1）連接AC，BD交于點(diǎn)O，
在正方形ABEF中，BE⊥AB，
又因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF且平面ABCD∩平面ABEF=AB，
則BE⊥平面ABCD，
又AC?平面ABCD，所以BE⊥AC，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，又BD∩BE=B，于是AC⊥平面BDE，
又DM?平面BDE，于是AC⊥DM，
又點(diǎn)G，H分別為邊CD，DA的中點(diǎn)，所以AC∥GH，故GH⊥DM．
（2）在菱形ABCD中，∠BAD=60°，
于是∠ADC=120°，
所以${S_{△DGH}}=\frac{1}{2}×DG×DH×sin∠ADC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
由（1）知BE⊥平面ABCD，
于是${V_{D-MGH}}={V_{M-DGH}}=\frac{1}{3}{S_{△DGH}}×BM=\frac{{\sqrt{3}}}{12}BM$，
要求三棱錐D-MGH的體積的最大值，只需求出線段BM的最大值，
又點(diǎn)M是線段BE上一動點(diǎn)，所以線段BM的最大值為2，此時點(diǎn)M與點(diǎn)E重合，
故三棱錐D-MGH的體積的最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{12}×2=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．
（其它解法參考給分）

點(diǎn)評 本題考查幾何體的體積的最值，直線與平面垂直的判定定理以及想知道了的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．