Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，
（2）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值．

解答 解：（1）由題意：已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由正弦函數(shù)圖象可知：2x-$\frac{π}{4}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]（k∈Z）單調(diào)減函數(shù)，即2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，解得：kπ+$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{8}$
所以：函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{7π}{8}$]（k∈Z）．
（3）由題意：$-\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{4}$，
∴$-\frac{7π}{12}≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{4}$．
當(dāng)2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$時(shí)，即x=$\frac{π}{4}$時(shí)，f（x）取得最大值，即$f（\frac{π}{4}）_{max}=\sqrt{2}sin\frac{π}{4}+1=2$
當(dāng)2x-$\frac{π}{4}$=$-\frac{π}{2}$時(shí)，即x=$-\frac{π}{8}$時(shí)，f（x）取得最小值，即$f（\frac{π}{8}）_{min}=\sqrt{2}sin（-\frac{π}{2}）+1=1-\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題．