Question

7．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F₁（-1，0），右準(zhǔn)線方程為：x=4．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓C上點(diǎn)N到定點(diǎn)M（m，0）（0＜m＜2）的距離的最小值為1，求m的值及點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的性質(zhì)可知c=1，準(zhǔn)線方程x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，即可求得a和c的值，由b²=a²-c²，求得b的值，代入即可求得橢圓方程；
（2）由兩點(diǎn)間的距離公式可知$M{N^2}={（x-m）^2}+{y^2}={（x-m）^2}+3（1-\frac{x^2}{4}）=\frac{1}{4}{x^2}-2mx+{m^2}+3$，根據(jù)二次函數(shù)的圖象及簡(jiǎn)單性質(zhì)，分類即可求得
m的值及點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，…（1分）
由題意得：$\left\{{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{a^2}{c}=4}\end{array}}\right.$，
解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=1}\end{array}}\right.$，…（4分）
∴b²=3，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；…（7分）
（2）設(shè)N（x，y），則$M{N^2}={（x-m）^2}+{y^2}={（x-m）^2}+3（1-\frac{x^2}{4}）=\frac{1}{4}{x^2}-2mx+{m^2}+3$，
對(duì)稱軸：x=4m，-2≤x≤2…（9分）
①當(dāng)0＜4m≤2即$0＜m≤\frac{1}{2}$，x=4m時(shí)，
$M{N^2}_{min}=-3{m^2}+3=1$，
解得：${m^2}=\frac{2}{3}＞\frac{1}{4}$，不符合題意，舍去；    …（11分）
②當(dāng)4m＞2，即$\frac{1}{2}＜m＜2$，x=2時(shí)，
$M{N^2}_{min}={m^2}-4m+4=1$，
解得：m=1或m=3；
∵$\frac{1}{2}＜m＜2$，
∴m=1； …（13分）
綜上：m=1，N（2，0）；       …（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查兩點(diǎn)間的距離公式及二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．