一個(gè)圓柱形圓木的底面半徑為1m,長為10m,將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個(gè)部分.現(xiàn)要把其中一個(gè)部分加工成直四棱柱木梁,長度保持不變,底面為等腰梯形(如圖所示,其中O為圓心,在半圓上),設(shè),木梁的體積為V(單位:m3),表面積為S(單位:m2).
(1)求V關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求的值,使體積V最大;
(3)問當(dāng)木梁的體積V最大時(shí),其表面積S是否也最大?請(qǐng)說明理由.
(1),(2),(3)當(dāng)木梁的體積V最大時(shí),其表面積S也最大.
【解析】
試題分析:(1)解答實(shí)際問題關(guān)鍵讀懂題意.本題所求體積為直四棱柱體積,體積為高與底面積的乘積.高為圓木的長,底面積為梯形的面積.利用角表示出梯形上下底及高,就可得到所求關(guān)系式. (2)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)為零時(shí),定義區(qū)間導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)討論其單調(diào)性,研究其圖像變化規(guī)律,確定其極值、最值.本題函數(shù)先增后減,在時(shí),取極大值,也是最大值.(3)本題實(shí)質(zhì)是求表面積的最大值,并判斷取最大值時(shí)是否成立.首先先建立表面積的函數(shù)關(guān)系式.表面積由兩部分組成,一是底面積,二是側(cè)面積. 底面積為梯形的面積,有兩個(gè). 側(cè)面積為梯形周長與圓木的長的乘積.再利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值及取最大值時(shí)角的取值.
試題解析:(1)梯形的面積
=,. 2分
體積. 3分
(2).
令,得,或(舍).∵,∴. 5分
當(dāng)時(shí),,為增函數(shù);
當(dāng)時(shí),,為減函數(shù). 7分
∴當(dāng)時(shí),體積V最大. 8分
(3)木梁的側(cè)面積=,.
=,. 10分
設(shè),.∵,
∴當(dāng),即時(shí),最大. 12分
又由(2)知時(shí),取得最大值,
所以時(shí),木梁的表面積S最大. 13分
綜上,當(dāng)木梁的體積V最大時(shí),其表面積S也最大. 14分
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值
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已知集合,,則 .
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設(shè)函數(shù),若,則的值為 .
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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(5,0),則實(shí)數(shù)m = .
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已知矩陣,,計(jì)算.
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執(zhí)行如圖所示的算法流程圖,則最后輸出的等于 .
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從甲,乙,丙,丁4個(gè)人中隨機(jī)選取兩人,則甲乙兩人中有且只有一個(gè)被選取的概率為 .
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如果數(shù)列滿足:且,則稱數(shù)列為階“歸化數(shù)列”.
(1)若某4階“歸化數(shù)列”是等比數(shù)列,寫出該數(shù)列的各項(xiàng);
(2)若某11階“歸化數(shù)列”是等差數(shù)列,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)若為n階“歸化數(shù)列”,求證:.
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