Question

9．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，若f（x₁）=x₁＜x₂，則關(guān)于x的方程 ${（f（x））^2}+\frac{2}{3}af（x）+\frac{3}=0$的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為3．

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，可得f′（x）=3x²+2ax+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，必有△=4a²-12b＞0．而方程3（f（x））²+2af（x）+b=0的△₁=△＞0，可知此方程有兩解且f（x）=x₁或x₂．再分別討論利用平移變換即可解出方程f（x）=x₁或f（x）=x₂解得個(gè)數(shù)．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，
∴f′（x）=3x²+2ax+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=4a²-12b＞0．解得x₁=-$\frac{a}{3}$-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-3b}}{3}$，x₂=-$\frac{a}{3}$+$\frac{\sqrt{{a}^{2}-3b}}{3}$，
而方程 ${（f（x））^2}+\frac{2}{3}af（x）+\frac{3}=0$，即方程3（f（x））²+2af（x）+b=0的△₁=△＞0，
∴此方程有兩解且f（x）=x₁或x₂．
不妨取0＜x₁＜x₂，f（x₁）＞0．
①把y=f（x）向下平移x₁個(gè)單位即可得到y(tǒng)=f（x）-x₁的圖象，
∵f（x₁）=x₁，可知方程f（x）=x₁有兩解．
②把y=f（x）向下平移x₂個(gè)單位即可得到y(tǒng)=f（x）-x₂的圖象，∵f（x₁）=x₁，∴f（x₁）-x₂＜0，可知方程f（x）=x₂只有一解．
綜上①②可知：方程f（x）=x₁或f（x）=x₂．只有3個(gè)實(shí)數(shù)解．即關(guān)于x的方程3（f（x））²+2af（x）+b=0的只有3不同實(shí)根．
故答案為3．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)得單調(diào)性、極值及方程解得個(gè)數(shù)、平移變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法、推理能力、分類討論的思想方法、計(jì)算能力、分析問題和解決問題的能力．