Question

20．已知f（x）是一次函數(shù)，且滿足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17
（Ⅰ）求f（x）；
（Ⅱ）若F（x）為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽，且x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x），求F（x）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)f（x）=kx+b，利用待定系數(shù)法求解．
（Ⅱ）F（x）為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽，x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x），分段考慮F（x）的解析式即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意：f（x）是一次函數(shù)，那么設(shè)f（x）=kx+b，則有：3（kx+k+b）-2（kx-k+b）=2x+17，
$\left\{\begin{array}{l}{kx=2x}\\{b+5k=17}\end{array}\right.$，解得：k=2，b=7，
所以：f（x）的解析式為f（x）=2x+7．
（Ⅱ）F（x）為奇函數(shù)且定義域?yàn)镽，∴當(dāng)x=0時(shí)，F(xiàn)（x）=0，
當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x）=2x+7．
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，那么F（-x）=f（-x）=-2x+7．
又∵F（x）為奇函數(shù)，F(xiàn)（-x）=-F（x），
∴F（x）=2x-7．
所以：$F（x）=\left\{\begin{array}{l}{2x+7，（x＞0）}\\{0，（x=0）}\\{2x-7，（x＜0）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求解析式的方法和分段函數(shù)的解析式的表示．屬于基礎(chǔ)題．