Question

15．已知f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性
（2）是否存在正數(shù)a，使得f（x）在[1，e]上最小值為0？

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）不存在a，使得函數(shù)f（x）在[1，e]上最小值為0，利用函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），結(jié)合函數(shù)的定義域[1，e]進(jìn)行分類討論，從而可得結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
a=1時(shí)，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）不存在a，使得函數(shù)f（x）在[1，e]上最小值為0
由（1）知函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$）
若1≤$\frac{1}{a}$≤e，即$\frac{1}{e}$≤a≤1，則函數(shù)f（x）在[1，e]上最小值為f（$\frac{1}{a}$）=-alna+a=0，
∴a=e，不滿足題意
若0＜$\frac{1}{a}$＜1，即a＞1，則函數(shù)f（x）在[1，e]上最小值為f（1）=1，不滿足題意；
若$\frac{1}{a}$＞e，0＜a＜$\frac{1}{e}$時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，e]上最小值為f（e）=a+$\frac{1}{e}$=0，
∴a=-$\frac{1}{e}$，不滿足題意．
綜上知，不存在a，使得函數(shù)f（x）在[1，e]上最小值為0．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)．