Question

20．已知正數(shù)x，y滿足x²+y²=1，則$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最大值為（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 解法一：構(gòu)造等式關(guān)系，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
解法二：換元法，利用三角函數(shù)的有界限求最小值．

解答 解：解法一：∵x＞0，y＞0，x²+y²=1
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$＞0，則有：（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）²=$\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{{y}^{2}}+\frac{2}{xy}=\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{{x}^{2}}+\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{{y}^{2}}+\frac{2}{xy}$≥2+2$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}•\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}}+\frac{2}{xy}$
=4+$\frac{2}{xy}$當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}=\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$即x=y時取等號．
由∵1=x²+y²≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等號．
∴$\frac{1}{2}≥xy$
所以：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$≤2$\sqrt{2}$
故選B．
解法二：換元法，
由題意：x＞0，y＞0，x²+y²=1
設(shè)：x=sinθ，y=cosθ（$0＜θ＜\frac{π}{2}$）
則有：1≥2sinθ•cosθ
∴$\frac{1}{2}≥sinθ•cosθ$
$sinθ+cosθ≥2\sqrt{sinθ•cosθ}$當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=cosθ時，即θ=$\frac{π}{4}$時，取等號．
那么：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=$\frac{1}{sinθ}+\frac{1}{cosθ}$=$\frac{sinθ+cosθ}{sinθ•cosθ}$≤$\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{2}$．當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=cosθ時，即θ=$\frac{π}{4}$時，取等號．
所以：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$≤2$\sqrt{2}$
故選B．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、一元二次不等式的解法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．