Question

9．若對(duì)一切|p|≤2，不等式（log₂x）²+plog₂x+1＞2log₂x+p恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 把對(duì)一切|p|≤2，不等式（log₂x）²+plog₂x+1＞2log₂x+p恒成立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于p的一次不等式$p（{log_2}x-1）+{（{log_2}x）^2}-2{log_2}x+1＞0$在[-2，2]恒成立，進(jìn)一步得到關(guān)于x的不等式組求解．

解答 解：對(duì)一切|p|≤2，不等式（log₂x）²+plog₂x+1＞2log₂x+p恒成立，等價(jià)于$p（{log_2}x-1）+{（{log_2}x）^2}-2{log_2}x+1＞0$恒成立，
即$f（p）=p（{log_2}x-1）+{（{log_2}x）^2}-2{log_2}x+1$＞0在[-2，2]上恒成立．
∴$\left\{\begin{array}{l}f（-2）=-2（{log_2}x-1）+{（{log_2}x）^2}-2{log_2}x+1＞0\\ f（2）=2（{log_2}x-1）+{（{log_2}x）^2}-2{log_2}x+1＞0\end{array}\right.$，
解得，log₂x＜-1或log₂x＞3．
∴x＞8或$0＜x＜\frac{1}{2}$．
∴x的取值范圍為$（0，\frac{1}{2}）∪（8，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問(wèn)題，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，更換主元是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．