Question

8．已知實(shí)數(shù)a，函數(shù)f（x）=e^x-1-ax的圖象與x軸相切．
（1）求實(shí)數(shù)a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞m（x-1）lnx，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)圖象與x軸相切，求出a的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及f（x）＞m（x-1）lnx，求出m的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-1-a，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，0），
依題意，$\left\{\begin{array}{l}{f{（x}_{0}）=0}\\{f′{（x}_{0}）=0}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=1}\\{a=1}\end{array}\right.$，
所以f′（x）=e^x-1-1．
當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0．
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）．
（2）令g（x）=f（x）-m（x-1）lnx，x＞0．
則g′（x）=e^x-1-m（lnx+$\frac{x-1}{x}$）-1，
令h（x）=g′（x），則h′（x）=e^x-1-m（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$），
（�。┤鬽≤$\frac{1}{2}$，
因?yàn)楫?dāng)x＞1時(shí)，e^x-1＞1，m（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$）＜1，所以h′（x）＞0，
所以h（x）即g′（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
又因?yàn)間′（1）=0，所以當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，
從而g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
而g（1）=0，所以g（x）＞0，即f（x）＞m（x-1）lnx成立；
（ⅱ）若m＞$\frac{1}{2}$，
可得h′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
因?yàn)閔′（1）=1-2m＜0，h′（1+ln（2m））＞0，
所以存在x₁∈（1，1+ln（2m）），使得h′（x₁）=0，
且當(dāng)x∈（1，x₁）時(shí)，h′（x）＜0，所以h（x）即g′（x）在（1，x₁）上單調(diào)遞減，
又因?yàn)間′（1）=0，所以當(dāng)x∈（1，x₁）時(shí)，g′（x）＜0，
從而g（x）在（1，x₁）上單調(diào)遞減，
而g（1）=0，所以當(dāng)x∈（1，x₁）時(shí)，g（x）＜0，即f（x）＞m（x-1）lnx不成立．
縱上所述，k的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想．