Question

14．已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₂=5，a₅+a₇=26，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）設(shè){b_n-a_n}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用通項(xiàng)公式列方程求出首項(xiàng)和公差，代入通項(xiàng)公式和求和公式即可；
（II）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得出b_n，使用分組求和得出T_n．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，因?yàn)閍₂=5，a₅+a₇=26，
所以$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=5}\\{2{a}_{1}+10d=26}\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=2，
所以a_n=3+2（n-1）=2n+1，
S_n=3n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2=n²+2n．
（Ⅱ）∵{b_n-a_n}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，
∴b_n-a_n=3^n-1，所以 b_n=a_n+3^n-1，
∴T_n=S_n+（1+3+3²+3³+…+3^n-1）=n²+2n+$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．