Question

18．定義在（-1，1）上的函數f（x）滿足：當x，y∈（-1，1）時，f（x）-f（y）=f（$\frac{x-y}{1-xy}$），并且當x∈（-1，0）時，f（x）＞0；若P=f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$），Q=f（$\frac{1}{2}$），R=f（0），則P、Q、R的大小關系為R＞Q＞P．

Answer 1

分析 在已知等式中取x=y=0，可求得f（0）=0，取-1＜x＜y＜1，能說明$\frac{x-y}{1-xy}$∈（-1，0），所以說明f（ $\frac{x-y}{1-xy}$）＞0，從而說明函數f（x）在（-1，1）上為減函數，再由已知等式把f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$）化為一個數的函數值，則三個數的大小即可比較．

解答 解：取x=y=0，則f（0）-f（0）=f（0），所以，f（0）=0，
設x＜y，且滿足-1＜x＜y＜1，則-1＜$\frac{x-y}{1-xy}$＜0，所以f（ $\frac{x-y}{1-xy}$）＞0，
又f（x）-f（y）=f（$\frac{x-y}{1-xy}$），
所以f（x）＞f（y），所以函數f（x）在（-1，1）上為減函數，
由f（x）-f（y）=f（ $\frac{x-y}{1-xy}$），得：f（x）=f（y）+f（$\frac{x-y}{1-xy}$），
取y=$\frac{1}{3}$，$\frac{x-y}{1-xy}$=$\frac{1}{4}$，則x=$\frac{7}{13}$，
所以P=f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{4}$）=f（$\frac{7}{13}$），
因為0＜$\frac{1}{2}$＜$\frac{7}{13}$，所以f（0）＞f（$\frac{1}{2}$）＞f（$\frac{7}{13}$）
所以R＞Q＞P．
故答案為：R＞Q＞P．

點評 本題考查了不等關系與不等式，考查了特值思想，解答此題的關鍵是能夠運用已知的等式證出函數是給定區(qū)間上的減函數，同時需要借助于已知等式把P化為一個數的函數值，屬于中檔題．