Question

18．已知拋物線(xiàn)C：y²=4x，F(xiàn)是拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，過(guò)F點(diǎn)的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相交于A、B兩點(diǎn)，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值；
（Ⅱ）設(shè)$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{FB}$，當(dāng)△OAB的面積${S_{△OAB}}=\frac{5}{2}$時(shí)，求λ的值．

Answer 1

分析 （I）對(duì)AB的斜率進(jìn)行討論，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$；
（II）根據(jù)三角形的面積得出|y₁-y₂|=5，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系計(jì)算y₁，y₂，于是λ=$\frac{|{y}_{2}|}{|{y}_{1}|}$．

解答 解：（I）F（1，0），
當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，AB方程為x=1，∴A（1，2），B（1，-2），
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=1-4=-3．
當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)AB方程為y=k（x-1），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂=1，x₁+x₂=$\frac{2{k}^{2}+4}{{k}^{2}}$=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$．
∴y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=k²x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²=-4．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=1-4=-3．
綜上，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=-3．
（II）∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$OF|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|=$\frac{5}{2}$，∴|y₁-y₂|=5．
∴（y₁+y₂）²-4y₁y₂=25，
由（I）可知y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=k（x₁+x₂）-2k=$\frac{4}{k}$，
y₁y₂=-4，
∴$\frac{16}{{k}^{2}}$+16=25，∴k²=$\frac{16}{9}$，k=±$\frac{4}{3}$．
當(dāng)k=$\frac{4}{3}$時(shí)，y₁+y₂=3，又y₁y₂=-4，∴y₁=-1，y₂=4，或y₁=4，y₂=-1．
∴λ=$\frac{|{y}_{2}|}{|{y}_{1}|}$=4或$\frac{1}{4}$．
同理，當(dāng)k=-$\frac{4}{3}$時(shí)，λ=4或$\frac{1}{4}$．
綜上，λ=4或λ=$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線(xiàn)的性質(zhì)，直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，屬于中檔題．