Question

13．已知函數(shù)f（x）=log₉（9^x+1）+kx是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）設函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x-a無零點，求a的取值范圍；
（3）設t（x）=log₉（m3^x-$\frac{4}{3}$m），若函數(shù)h（x）=f（x）-t（x）有且只有一個零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）因為f（x）為偶函數(shù)所以f（-x）=f（x）代入求得k的值即可；
（2）函數(shù)與直線沒有交點即log₉（9^x+1）-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+a無解，即方程log₉（9^x+1）-x=a無解．令g（x）=log₉（9^x+1）-x，則函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=b無交點．推出g（x）為減函數(shù)得到g（x）＞0，所以讓a≤0就無解．
（3）函數(shù)h（x）=f（x）-t（x）有且只有一個零點即函數(shù)f（x）與t（x）的圖象有且只有一個公共點，即聯(lián)立兩個函數(shù)解析式得到方程，方程只有一個解即可．

解答 解：（1）因為y=f（x）為偶函數(shù)，
所以?x∈R，f（-x）=f（x），
即log₉（9^-x+1）-kx=log₉（9^x+1）+kx對于?x∈R恒成立．
即2kx=log₉（9^-x+1）-log₉（9^x+1）=log₉（ $\frac{{9}^{-x}+1}{{9}^{x}+1}$）=log₉（9^-x）=-x恒成立，
即（2k+1）x=0恒成立，
而x不恒為零，所以k=-$\frac{1}{2}$．
（2）由題意知方程log₉（9^x+1）-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+a即方程log₉（9^x+1）-x=a無解．
令g（x）=log₉（9^x+1）-x，則函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=a無交點．
因為g（x）=log₉（ $\frac{{9}^{x}+1}{{9}^{x}}$）=log₉（1+$\frac{1}{{9}^{x}}$），
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，則0＜9^x₁＜9^x₂，從而 $\frac{1}{{9}^{{x}_{1}}}$＞$\frac{1}{{9}^{{x}_{2}}}$．
于是log₉（1+$\frac{1}{{9}^{{x}_{1}}}$）＞log9（1+$\frac{1}{{9}^{{x}_{2}}}$），即g（x₁）＞g（x₂），
所以g（x）在（-∞，+∞）是單調減函數(shù)，
因為1+$\frac{1}{{9}^{x}}$＞1，所以g（x）=log₉（1+$\frac{1}{{9}^{x}}$）＞0，
所以a的取值范圍是（-∞，0）．
（3）若函數(shù)h（x）=f（x）-t（x）有且只有一個零點，
則方程3^x+$\frac{1}{{3}^{x}}$=m•3^x-$\frac{4}{3}$m有且只有一個實數(shù)根．
令3^x=t＞0，則關于t的方程（m-1）t²-$\frac{4}{3}$mt-1=0（記為（*））有且只有一個正根．
若m=1，則t=-$\frac{3}{4}$，不合題意，舍去；
若m≠1，則方程（*）的兩根異號或有兩相等正根．
由△=0⇒m=$\frac{3}{4}$或-3；
但m=$\frac{3}{4}$⇒t=-$\frac{1}{2}$，不合題意，舍去；
而m=-3⇒t=$\frac{1}{2}$；
方程（*）的兩根異號?（m-1）•（-1）＜0，即-m+1＜0，解得：m＞1．
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍{-3}∪（1，+∞）．

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，是解答的關鍵．