Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=（2n+1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ，求它的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答 解：S_n=3×（$\frac{1}{3}$）¹+5×（$\frac{1}{3}$）²+7×（$\frac{1}{3}$）³+…+（2n+1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
$\frac{1}{3}$S_n=3×（$\frac{1}{3}$）²+5×（$\frac{1}{3}$）³+7×（$\frac{1}{3}$）⁴+…+（2n-1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ+（2n+1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減得$\frac{2}{3}$S_n=$\frac{1}{3}$+2×（$\frac{1}{3}$）¹+2×（$\frac{1}{3}$）²+2×（$\frac{1}{3}$）³+7×（$\frac{1}{3}$）⁴+…+2×（$\frac{1}{3}$）ⁿ-（2n+1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
=$\frac{1}{3}$+2×$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-（2n+1）（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹=$\frac{4}{3}$-（2n+4）（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
∴S_n=2-（n+2）（$\frac{1}{3}$）ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題．