Question

10．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，動(dòng)點(diǎn)M在線段C₁D₁上，E、F分別為AD、AB的中點(diǎn)．設(shè)異面直線ME與DF所成的角為θ，則sinθ的最小值為$\frac{\sqrt{21}}{5}$．

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)棱長(zhǎng)AB=2．設(shè)M（x，0，2），x∈[0，2]．可得：cos$＜\overrightarrow{DF}，\overrightarrow{ME}＞$=$\frac{\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{EM}}{|\overrightarrow{DF}||\overrightarrow{EM}|}$．sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}＜\overrightarrow{DF}，\overrightarrow{ME}＞}$，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)棱長(zhǎng)AB=2．則D（2，0，0），E（2，1，0），
F（1，2，0），設(shè)M（x，0，2），x∈[0，2]．
$\overrightarrow{DF}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{ME}$=（2-x，1，-2），
∴cos$＜\overrightarrow{DF}，\overrightarrow{ME}＞$=$\frac{\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{EM}}{|\overrightarrow{DF}||\overrightarrow{EM}|}$=$\frac{x}{\sqrt{5}×\sqrt{5+（2-x）^{2}}}$．
x≠0時(shí)，sinθ=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{{5（x}^{2}-4x+9）}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{5[（\frac{3}{x}-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{5}{9}]}}$≥$\frac{\sqrt{21}}{5}$，當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)；x=0時(shí)，sinθ=1．
綜上可得：sinθ的最小值為$\frac{\sqrt{21}}{5}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{21}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用向量的夾角公式求異面直線的夾角、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．