Question

9．已知x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+1≤0}\\{2x+y+5≥0}\\{x-y+1≥0}\end{array}\right.$，則z=$\frac{x+1}{x+2y-3}$的取值范圍是[-1，$\frac{1}{7}$]．

Answer 1

分析 由題意作平面區(qū)域，分類討論當x≠-1時，化簡z=$\frac{x+1}{x+2y-3}$=$\frac{1}{1+2\frac{y-2}{x+1}}$，從而利用幾何意義求解．

解答 解：由題意作平面區(qū)域如下，
當x=-1時，z=$\frac{x+1}{x+2y-3}$=0；
當x≠-1時，z=$\frac{x+1}{x+2y-3}$=$\frac{1}{1+2\frac{y-2}{x+1}}$，
易知A（-1，2），B（-2，-1），C（0，1）；
故k_AB=$\frac{2+1}{-1+2}$=3，k_AC=$\frac{2-1}{-1-0}$=-1，
故$\frac{y-2}{x+1}$≥3或$\frac{y-2}{x+1}$≤-1，
故1+2$\frac{y-2}{x+1}$≥7或1+2$\frac{y-2}{x+1}$≤-1；
故0＜$\frac{1}{1+2\frac{y-2}{x+1}}$≤$\frac{1}{7}$或-1≤$\frac{1}{1+2\frac{y-2}{x+1}}$＜0；
綜上所述，-1≤$\frac{1}{1+2\frac{y-2}{x+1}}$≤$\frac{1}{7}$．
故答案為：[-1，$\frac{1}{7}$]．

點評 本題考查了線性規(guī)劃，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法應用及分類討論的思想應用．