Question

12．如圖，過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F作直線交C于A、B兩點，過A、B分別向C的準線l作垂線，垂足為A₁、B₁，已知△AA₁F與△BB₁F的面積分別為9和1，則△A₁B₁F的面積為（　�。�

• A． 4
• B． 6
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 設△A′B′F的面積為S，直線AB：x=my+$\frac{p}{2}$代入拋物線方程，利用韋達定理，計算${S}_{△A{A}_{1}F}$，${S}_{△B{B}_{1}F}$，求出面積的積，即可求出△A₁B₁F的面積．

解答 解：設△A′B′F的面積為S，直線AB：x=my+$\frac{p}{2}$，代入拋物線方程，消元可得y²-2pmy-p²=0，
設A（x₁，y₁） B（x₂，y₂），則y₁y₂=-p²，y₁+y₂=2pm，
${S}_{△A{A}_{1}F}$=$\frac{1}{2}$|AA₁|×|y₁|=$\frac{1}{2}$|x₁+$\frac{p}{2}$||y₁|=$\frac{1}{2}$（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$）|y₁|，
${S}_{△B{B}_{1}F}$=$\frac{1}{2}$|BB₂|×|y₂|=$\frac{1}{2}$|x₂+$\frac{p}{2}$||y₂|=$\frac{1}{2}$（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$）|y₂|，
∴${S}_{△A{A}_{1}F}$${S}_{△B{B}_{1}F}$=$\frac{{p}^{4}}{4}$（m²+1）=9，
∴${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}F}$=$\frac{p}{2}$|y₁-y₂|=${p}^{2}\sqrt{{m}^{2}+1}$=6，
故選：B．

點評 本題考查拋物線的性質，考查面積的計算，解題的關鍵是正確求出三角形的面積，屬于中檔題．