Question

3．設(shè)f（x）=ln（ax）（0＜a＜1），過點(diǎn)P（a，0）且平行于y軸的直線與曲線C：y=f（x）的交點(diǎn)為Q，曲線C在點(diǎn)Q處的切線交x軸于點(diǎn)R，則△PQR的面積的最大值是（　　）

• A． 1
• B． $\frac{4}{e^2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{8}{e^2}$

Answer 1

分析 求出切點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并求出切線的斜率k，設(shè)出R點(diǎn)的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)的斜率公式，寫出斜率k，并求出r，求出△PQRS的面積為S，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出S的最大值即可．

解答 解：∵PQ∥y軸，P（a，0），
∴Q（a，f（a））即（a，2lna），
又f（x）=ln（ax）（0＜a＜1）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴過Q的切線斜率k=$\frac{1}{a}$，
設(shè)R（r，0），
則k=$\frac{2lna}{a-r}$=$\frac{1}{a}$，
∴r=a-2alna，
即R（a-2alna，0），PR=2alna，
∴△PQR的面積為S=2a（lna）²，
導(dǎo)數(shù)S′=2lna（lna+2），由S′=0得a=e^-2，
當(dāng)1＞a＞e^-2時(shí)，S′＜0，當(dāng)0＜a＜e^-2時(shí)，S′＞0，
∴a=e^-2為極大值點(diǎn)，也為最大值點(diǎn)，
∴△PQR的面積的最大值為$\frac{8}{{e}^{2}}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和應(yīng)用，考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求切線方程，同時(shí)考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值，考查基本的運(yùn)算能力，是一道中檔題．