Question

5．設(shè)命題p：函數(shù)y=log_a-1[（a-3）x-1]在其定義域上為增函數(shù)，命題q：函數(shù)y=ln[（3a-4）x²-2ax+2]的定義域為R．
（1）若命題“p∨q”為真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若命題“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：函數(shù)y=log_a-1[（a-3）x-1]在其定義域上為增函數(shù)，可得$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞1}\\{a-3＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{0＜a-1＜1}\\{a-3＜0}\end{array}\right.$，解得a范圍．
命題q：函數(shù)y=ln[（3a-4）x²-2ax+2]的定義域為R，可得$\left\{\begin{array}{l}{3a-4＞0}\\{△=4{a}^{2}-8（3a-4）＜0}\end{array}\right.$，解得a范圍．
（1）命題“p∨q”為真命題，p與q中至少有一個為真命題．
（2）由命題“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，則命題p與q一個為真一個為假．

解答 解：命題p：函數(shù)y=log_a-1[（a-3）x-1]在其定義域上為增函數(shù)，∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞1}\\{a-3＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{0＜a-1＜1}\\{a-3＜0}\end{array}\right.$，解得a＞3或1＜a＜2．
命題q：函數(shù)y=ln[（3a-4）x²-2ax+2]的定義域為R，可得$\left\{\begin{array}{l}{3a-4＞0}\\{△=4{a}^{2}-8（3a-4）＜0}\end{array}\right.$，解得2＜a＜4．
（1）命題“p∨q”為真命題，∴a＞3或1＜a＜2或2＜a＜4．
∴實數(shù)a的取值范圍是（1，2）∪（2，+∞）．
（2）由命題“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，則命題p與q一個為真一個為假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞3或1＜a＜2}\\{a≤2或a≥4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{2≤a≤3或a≤1}\\{2＜a＜4}\end{array}\right.$，
解得1＜a＜2，或a≥4；或2＜a≤3．
∴實數(shù)a的取值范圍是（1，2）∪（2，3]∪[4，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法、復(fù)合命題真假的判定方法，考查了推理能力，屬于中檔題．