Question

4．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，并取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）寫出C₁的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C₂：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1經(jīng)伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{2}x}\\{y′=y}\end{array}\right.$后得到曲線C₃，射線θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0）分別與C₁和C₃交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，消去參數(shù)，即可解得方程C₁的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求得C₃的方程，即可由OA，OB的長解得AB的長．

解答 解：（Ⅰ）將$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．消去參數(shù)α，化為普通方程為（x-2）²+y²=4，
即C₁：x²+y²-4x=0，（2分）
將$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入C₁：x²+y²-4x=0，得ρ²=4ρcosθ，（4分）
所以C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．（5分）
（Ⅱ）將$\left\{\begin{array}{l}{x=2{x}^{′}}\\{y={y}^{′}}\end{array}\right.$代入C₂得x′²+y^′2=1，
所以C₃的方程為x²+y²=1．（7分）
C₃的極坐標(biāo)方程為ρ=1，所以|OB=1|．
又|OA|=4cos$\frac{π}{3}$=2，
所以|AB|=|OA|-|OB|=1．（10分）

點(diǎn)評 本小題考查極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程、伸縮變換等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等．