Question

3．某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時間的關(guān)系，對該校200名高三學(xué)生的課外體育鍛煉平均每天運動的時間進(jìn)行調(diào)查，如表：（平均每天鍛煉的時間單位：分鐘）

平均每天鍛煉 的時間（分鐘）	[0，10）	[10，20）	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60）
總?cè)藬?shù)	20	36	44	50	40	10

將學(xué)生日均課外課外體育運動時間在[40，60）上的學(xué)生評價為“課外體育達(dá)標(biāo)”．
（Ⅰ）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？

	課外體育不達(dá)標(biāo)	課外體育達(dá)標(biāo)	合計
男
女		20	110
合計

（Ⅱ）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該校高三學(xué)生中，抽取3名學(xué)生，記被抽取的3名學(xué)生中的“課外體育達(dá)標(biāo)”學(xué)生人數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求X的數(shù)學(xué)期望和方差．
參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d．
參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （I）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表，再代入公式計算得出K²，與臨界值比較即可得出結(jié)論；
（II）由題意，用頻率代替概率可得出抽到“課外體育達(dá)標(biāo)”學(xué)生的頻率為0.25，由于X～B（3，$\frac{1}{4}$），由公式計算出期望與方差即可．

解答 解：列出列聯(lián)表，

	課外體育不達(dá)標(biāo)	課外體育達(dá)標(biāo)	合計
男	60	30	90
女	90	20	110
合計	150	50	200

（Ⅰ）${K^2}=\frac{{200×{{（{60×20-30×90}）}^2}}}{150×50×90×110}=\frac{200}{33}≈6.060＜6.635$，（5分）
所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下不能判斷“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)．（6分）
（Ⅱ）由表中數(shù)據(jù)可得，抽到“課外體育達(dá)標(biāo)”學(xué)生的頻率為0.25，將頻率視為概率，
∴X～B（3，$\frac{1}{4}$），（8分）
∴$E（X）=3×\frac{1}{4}=\frac{3}{4}，D（X）=3×\frac{1}{4}×\frac{3}{4}=\frac{9}{16}$．                 （12分）

點評 本題考查獨立性檢驗的運用及期望與方差的求法，涉及到的知識點較多，有一定的綜合性，難度不大，是高考中的易考題型．