Question

8．平面外ABC的一點(diǎn)P，AP、AB、AC兩兩互相垂直，過AC的中點(diǎn)D做ED⊥面ABC，且ED=1，PA=2，AC=2，連接BP，BE，多面體B-PADE的體積是$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（1）畫出面PBE與面ABC的交線，說明理由；
（2）求面PBE與面ABC所成的銳二面角的大�。�

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)PE交AC于F，可證F與C重合，故直線BC即為面PBE與面ABC的交線；
（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出面PBE與面ABC所成的銳二面角的大�。�

解答 解：（1）延長(zhǎng)PE交AC于F，直線BC即為面PBE與面ABC的交線；
理由如下：
∵AP、AB、AC兩兩互相垂直，
∴PA⊥平面ABC，
∵DE⊥平面ABC，
∴DE∥PA，
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{DE}{PA}=\frac{1}{2}$，
∴F與C重合．
∵C∈PE，C∈AC，PE?平面PBE，AC?平面ABC，
∴C是平面PBE和平面ABC的公共點(diǎn)，
又B是平面PBE和平面ABC的公共點(diǎn)，
∴BC是面PBE與面ABC的交線．
（2）∵AP、AB、AC兩兩互相垂直，
∴AB⊥平面PAC，∴V_B-PADE=$\frac{1}{3}$S_梯形ADEP•AB=$\frac{1}{3}$（1+2）×1×AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
B（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），
$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0，2），$\overrightarrow{PE}$=（0，1，-1），
設(shè)二面角PBE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\frac{2\sqrt{3}}{3}x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=y-z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，1，1），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴面PBE與面ABC所成的銳二面角的大小為arccos$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面的性質(zhì)，二面角的計(jì)算，屬于中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．