Question

7．如圖所示，等腰梯形ABCD的底邊AB在x軸上，頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，且底邊AB和CD的長(zhǎng)分別為6和$2\sqrt{6}$，高為3．
（Ⅰ）求等腰梯形ABCD的外接圓E的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)N的坐標(biāo)為（5，2），點(diǎn)M在圓E上運(yùn)動(dòng)，求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程，并指出其軌跡．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性判斷出E在y軸上，設(shè)其坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式建立等式求得E的坐標(biāo)和半徑，則圓的方程可得．
（Ⅱ）設(shè)出P的坐標(biāo)，表示出M的坐標(biāo)代入圓E的方程，進(jìn)而求得P的軌跡方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)E（0，b），
由已知可得：$A（-3，0），B（3，0），C（\sqrt{6}，3），D（-\sqrt{6}，3）$，（2分）
由|EB|=|EC|得：${（3-0）^2}+{（0-b）^2}={（\sqrt{6}-0）^2}+{（3-b）^2}⇒b=1$，（4分）
∴圓E的圓心為E（0，1），半徑為$r=\sqrt{10}$，
∴圓E的方程為：x²+（y-1）²=10．（6分）
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），M（x₀，y₀），（7分）
∵P為線段MN的中點(diǎn)，∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{{5+{x_0}}}{2}=x\\ \frac{{2+{y_0}}}{2}=y\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{x_0}=2x-5\\{y_0}=2y-2\end{array}\right.$，（9分）
代入點(diǎn)${（2x-5）^2}+{（2y-3）^2}=10⇒{（x-\frac{5}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{5}{2}$所在圓的方程得：${（2x-5）^2}+{（2y-3）^2}=10⇒{（x-\frac{5}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{5}{2}$，（11分）
∴點(diǎn)${（x-\frac{5}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{5}{2}$的軌跡方程為${（x-\frac{5}{2}）^2}+{（y-\frac{3}{2}）^2}=\frac{5}{2}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓的方程的應(yīng)用．求圓的方程，一般是確定圓心和半徑．解決軌跡方程的問(wèn)題的步驟先設(shè)點(diǎn)，求得變量x和y的關(guān)系即可．