Question

7．已知g（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若函數(shù)f（x）=$\frac{2|x|+g（x）+2}{|x|+1}$（x∈R）有最大值為M，最小值為m，則M+m=（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 由題意令h（x）=$\frac{g（x）}{|x|+1}$，h（x）=$\frac{g（x）}{|x|+1}$的最大最小值分別為M-2，m-2，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得（M-2）+（m-2）=0，變形可得答案．

解答 解：∵函數(shù)y=g（x）為奇函數(shù)，∴g（-x）=-g（x），
f（x）=$\frac{2|x|+g（x）+2}{|x|+1}$=2+$\frac{g（x）}{|x|+1}$，
令h（x）=$\frac{g（x）}{|x|+1}$，則h（-x）=-$\frac{g（x）}{|x|+1}$=-h（x），即y=h（x）為奇函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）=$\frac{2|x|+g（x）+2}{|x|+1}$（x∈R）有最大值為M，最小值為m
∴h（x）=$\frac{g（x）}{|x|+1}$的最大最小值分別為M-2，m-2，
由奇函數(shù)的性質(zhì)可得（M-2）+（m-2）=0，
解得M+m=4．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的奇偶性，涉及函數(shù)的最值問題，屬中檔題．