Question

設函數f（x）滿足：①對任意實數m，n都有f（m+n）+f（m-n）=2f（m）f（n）②對任意m∈R，有f（1+m）=f（1-m），③f（0）≠0，且當x∈（0，1]時，f（x）＜1
（1）求f（0），f（1）的值
（2）判斷f（x）的奇偶性，并給出你的證明；
（3）試證明：函數f（x）為周期函數，并求出f（

1

3

）+f（

2

3

）+…+f（

2017

3

）的值．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數奇偶性的判斷,函數的周期性

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用賦值法即可求f（0），f（1）的值
（2）根據函數奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（3）根據函數周期性的定義即可證明函數f（x）為周期函數，利用函數的奇偶性和周期性的性質即可求值．

解答： 解：（1）令m=0，n=0，有f（0）+f（0）=2f（0）•f（0）即2f（0）[f（0）-1]=0，
∵f（0）≠0，∴f（0）=1．
又令m=n=1得f（2）+f（0）=2[f（1）²]，
又f（1+m）=f（1-m）得f（2）=f（0），
∴[f（1）]²=1即f（1）=±1，而由已知f（1）＜1，
故f（1）=-1．…（4分）
（2）令m=0，n=x得：f（x）+f（-x）=2f（0）•f（x）=2f（x），
∴f（-x）=f（x）即f（x）為偶函數．                                                     
（3）由已知f（1+m）=f（1-m）得f（-x）=f（2+x），
又f（x）為偶函數，有f（-x）=f（x）∴f（2+x）=f（x），
∴f（x）為以2為周期的周期函數．
令m=n=

1

3

得：f(

2

3

)+f(0)=2[f(

1

3

)]2．
即：f(

2

3

)+1=2[f(

1

3

)]2．
再令：m=

2

3

，n=

1

3

得：f(1)+f(

1

3

)=2f(

2

3

)f(

1

3

)．
即：f(

1

3

)-1=2f(

2

3

)f(

1

3

)．
而f(

2

3

)＜1．．由此得：f(

1

3

)=

1

2

，f(

2

3

)=-

1

2

又由條件（2），f(

1

3

)=f(

5

3

)，f(

2

3

)=f(

4

3

)，故f(

1

3

)+f(

2

3

)+f(

3

3

)+f(

4

3

)+f(

5

3

)+f(

6

3

)=0，
又f（x）是以2為周期的周期函數，故f(

1

3

)+f(

2

3

)+…+f(

2017

3

)=336×0+f(

2017

3

)=f(

1

3

)=

1

2

．

點評：本題主要考查抽象函數的綜合應用，利用函數的奇偶性和周期性的性質是解決本題的關鍵．