Question

18．已知集合A={直線|直線l的方程是（3m+1）x+（1-m）y-2-2m=0}，集合B={直線|直線l是y=x³的切線}，則A∩B=（　　）

• A． {（x，y）|3x-y-2=0}
• B． {（1，1）}
• C． {（x，y）|3x-4y+1=0}
• D． {（x，y）|x-y=0}

Answer 1

分析 先根據(jù)集合A，得到直線l恒過點（1，1），再根據(jù)集合B，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出直線l的方程，問題得以解決．

解答 解：（3m+1）x+（1-m）y-2-2m=0，即m（3x-y-2）+x+y-2=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴直線l恒過點（1，1），
∵直線l是y=x³的切線，設切點為（x₀，x₀³）
∴y′=3x²，
∴k=3x₀²=$\frac{{{x}_{0}}^{3}-1}{{x}_{0}-1}$，
解得x₀=1（舍去），或x₀=-$\frac{1}{2}$，
∴k=$\frac{3}{4}$，
∴直線l為y-1=$\frac{3}{4}$（x-1），即3x-4y+1=0，
∴A∩B={（x，y）|3x-4y+1=0}，
故選：C

點評 本題借助集合的思想，考查了直線恒過定點以及曲線的切線方程，屬于中檔題．