Question

18．如圖，半徑為2的半圓有一內(nèi)接梯形ABCD，它的下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點在圓周上．若雙曲線以A、B為焦點，且過C、D兩點，則當(dāng)梯形ABCD的周長最大時，雙曲線的實軸長為2$\sqrt{3}$-2．

Answer 1

分析 設(shè)∠BAC=θ，作CE⊥AB于點E，則可表示出BC，EB，CD，進(jìn)而可求得梯形的周長的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得周長的最大值時θ的值，則AC和BC可求，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的定義求得雙曲線的實軸長．

解答 解：設(shè)∠BAC=θ，作CE⊥AB于點E，
則BC=2Rsinθ，EB=BCcos（90°-θ）=2Rsin²θ，
有CD=2R-4Rsin²θ，
梯形ABCD的周長l=AB+2BC+CD=2R+4Rsinθ+2R-4Rsin²θ
=8+8sinθ-8sin²θ=-8（sinθ-$\frac{1}{2}$）²+10，
當(dāng)sinθ=$\frac{1}{2}$，即θ=30°時，l有最大值10，
即有BC=2，AC=2$\sqrt{3}$，a=$\frac{1}{2}$（AC-BC）=$\sqrt{3}$，
可得雙曲線的實軸長為2a=2$\sqrt{3}$-2．
故答案為：2$\sqrt{3}$-2．

點評 本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用，雙曲線的定義．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，以及運算能力，屬于中檔題．