Question

7．某福彩中心準(zhǔn)備發(fā)行一種面值為2元的福利彩票刮刮卡，設(shè)計方案如下：
①該福利彩票中獎概率為0.2；
②每張中獎彩票的中獎獎金有5元，10元和100元三種；
③顧客購買一張彩票，獲得10元獎金的概率為0.08，獲得100元獎金的概率為p．
（1）若某顧客每天都買一張該類型的福利彩票，求其在第3天才中獎的概率；
（2）福彩中心為了能夠籌得資金資助福利事業(yè)持續(xù)發(fā)展，應(yīng)如何設(shè)定P的取值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A_i：第i天中獎，A：第3天才中獎，由$P（A）=P（\overline{A_1}\overline{A_2}{A_3}）=P（\overline{A_1}）P（\overline{A_2}）P（{A_3}）$，由此能求出該顧客第3天才中獎的概率．
（2）設(shè)賣出一張彩票可能獲得的資金為ξ，ξ可以取2，-3，-8，-98，分別求出相應(yīng)的概率，得到Eξ，由Eξ＞0，能求出結(jié)果．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）設(shè)A_i：第i天中獎，A：第3天才中獎，
則$P（A）=P（\overline{A_1}\overline{A_2}{A_3}）=P（\overline{A_1}）P（\overline{A_2}）P（{A_3}）=0.8×0.8×0.2=0.128$
所以，該顧客第3天才中獎的概率為0.128       …（4分）
（2）設(shè)賣出一張彩票可能獲得的資金為ξ，
則ξ可以取2，-3，-8，-98，…（6分）
P（ξ=2）=0.8，
P（ξ=-3）=0.2-0.08-p=0.12-p，
P（ξ=-8）=0.08，
P（ξ=-98）=p，
ξ的分布列為：

ξ	2	-3	-8	-98
P	0.8	0.12-p	0.08	p

…（10分）
所以，Eξ=2×0.8+（-3）×（0.12-p）+（-8）×0.08+（-98）×p=0.6-95p
令Eξ＞0，得$p＜\frac{3}{475}$
所以當(dāng)$p＜\frac{3}{475}$時，福彩中心可以獲取資金資助福利事業(yè)持續(xù)發(fā)展． …（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，在協(xié)年高考中都是必考題型之一．