Question

7．某福彩中心準(zhǔn)備發(fā)行一種面值為2元的福利彩票刮刮卡，設(shè)計(jì)方案如下：
①該福利彩票中獎(jiǎng)概率為0.2；
②每張中獎(jiǎng)彩票的中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金有5元，10元和100元三種；
③顧客購(gòu)買(mǎi)一張彩票，獲得10元獎(jiǎng)金的概率為0.08，獲得100元獎(jiǎng)金的概率為p．
（1）若某顧客每天都買(mǎi)一張?jiān)擃?lèi)型的福利彩票，求其在第3天才中獎(jiǎng)的概率；
（2）福彩中心為了能夠籌得資金資助福利事業(yè)持續(xù)發(fā)展，應(yīng)如何設(shè)定P的取值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)A_i：第i天中獎(jiǎng)，A：第3天才中獎(jiǎng)，由$P（A）=P（\overline{A_1}\overline{A_2}{A_3}）=P（\overline{A_1}）P（\overline{A_2}）P（{A_3}）$，由此能求出該顧客第3天才中獎(jiǎng)的概率．
（2）設(shè)賣(mài)出一張彩票可能獲得的資金為ξ，ξ可以取2，-3，-8，-98，分別求出相應(yīng)的概率，得到Eξ，由Eξ＞0，能求出結(jié)果．

解答 （本小題滿(mǎn)分12分）
解：（1）設(shè)A_i：第i天中獎(jiǎng)，A：第3天才中獎(jiǎng)，
則$P（A）=P（\overline{A_1}\overline{A_2}{A_3}）=P（\overline{A_1}）P（\overline{A_2}）P（{A_3}）=0.8×0.8×0.2=0.128$
所以，該顧客第3天才中獎(jiǎng)的概率為0.128       …（4分）
（2）設(shè)賣(mài)出一張彩票可能獲得的資金為ξ，
則ξ可以取2，-3，-8，-98，…（6分）
P（ξ=2）=0.8，
P（ξ=-3）=0.2-0.08-p=0.12-p，
P（ξ=-8）=0.08，
P（ξ=-98）=p，
ξ的分布列為：

ξ	2	-3	-8	-98
P	0.8	0.12-p	0.08	p

…（10分）
所以，Eξ=2×0.8+（-3）×（0.12-p）+（-8）×0.08+（-98）×p=0.6-95p
令Eξ＞0，得$p＜\frac{3}{475}$
所以當(dāng)$p＜\frac{3}{475}$時(shí)，福彩中心可以獲取資金資助福利事業(yè)持續(xù)發(fā)展． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在協(xié)年高考中都是必考題型之一．