Question

11．已知兩圓C₁：x²+y²-2x-6y-1=0，C₂：x²+y²-10x-12y+45=0
（1）求證：圓C₁和圓C₂相交；
（2）求圓C₁和圓C₂的公共弦所在直線方程和公共弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）分別求出圓C₁和圓C₂的圓心和半徑，再求出圓心距|C₁C₂|，由圓心距大于半徑之差的絕對(duì)值，小于半徑之和，能證明圓C₁和圓C₂相交．
（2）兩圓C₁和C₂，兩圓相減，得圓C₁和圓C₂的公共弦所在直線方程；求出圓心C₂（5，6）到公共弦所在直線的距離，由此能求出圓C₁和圓C₂的公共弦長(zhǎng)．

解答 證明：（1）圓C₁：x²+y²-2x-6y-1=0的圓心C₁（1，3），半徑r₁=$\frac{1}{2}\sqrt{4+36+4}$=$\sqrt{11}$，
C₂：x²+y²-10x-12y+45=0的圓C₂（5，6），半徑r₂=$\frac{1}{2}\sqrt{100+144-180}$=4，
|C₁C₂|=$\sqrt{（5-1）^{2}+（6-3）^{2}}$=5，
∵4-$\sqrt{11}$＜|C₁C₂|=5＜4+$\sqrt{11}$，
∴圓C₁和圓C₂相交．
解：（2）∵兩圓C₁：x²+y²-2x-6y-1=0，C₂：x²+y²-10x-12y+45=0，
∴兩圓相減，得圓C₁和圓C₂的公共弦所在直線方程為：
8x+6y-46=0，即4x+3y-23=0．
圓心C₂（5，6）到直線4x+3y-23=0的距離d=$\frac{|4×5+3×6-23|}{\sqrt{16+9}}$=3，
∴圓C₁和圓C₂的公共弦長(zhǎng)|AB|=2$\sqrt{{{r}_{2}}^{2}-d}$=2$\sqrt{16-9}$=2$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩圓相交的證明，考查兩圓公共弦所在直線方程的求法，考查兩圓公共弦長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意兩點(diǎn)間距離公式及圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．