Question

15．已知：f（x）=2x²+bx+c．
（1）若f（x）在（-∞，1]上單調(diào)遞減，求b的取值范圍；
（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈[-1，1]，f（x）的最大值與最小值之差為g（b），求g（b）．

Answer 1

分析 （1）f（x）在（-∞，1]上單調(diào)遞減，則對(duì)稱軸-$\frac{1}{4}b≥1$．
（2）討論f（x）=2x²+bx+c在x∈[-1，1]的最大值與最小值分別為M、N；根據(jù)對(duì)稱軸位置的不同，分別求出g（b）最小值．

解答 解：（1）f（x）=2x²+bx+c=2（x+$\frac{4}$）²+c-$\frac{^{2}}{8}$
因?yàn)閒（x）在（-∞，-$\frac{1}{4}b$）上為減函數(shù)，∴-$\frac{1}{4}b≥1$，得b≤-4．
（2）設(shè)f（x）=2x²+bx+c在x∈[-1，1]的最大值與最小值分別為M、N．
①當(dāng)-$\frac{1}{4}b≥1$ 時(shí)，即b≤-4時(shí)，g（b）=f（-1）-f（1）=-2b．
②當(dāng)-$\frac{1}{4}b≤-1$ 時(shí)，即b≥4時(shí)，g（b）=f（1）-f（-1）=2b．
③當(dāng)-1＜$-\frac{1}{4}b$＜1 時(shí)，即-1＜b＜4時(shí)，
M=max{f（-1），f（1）}=2+|b|+c，
N=c-$\frac{1}{8}^{2}$
g（b）=M-N=$\frac{1}{8}^{2}$+|b|+2，
故g（b）=$\left\{\begin{array}{l}{-2b，b≤-4}\\{\frac{1}{8}^{2}+|b|+2，-4＜b＜4}\\{2b，b≥4}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一元二次函數(shù)的基本性質(zhì)與圖形特征，考查了分類討論思想，屬中等題．