Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}（x≤0）}\\{f（x-1）（x＞0）}\end{array}\right.$，則f（x）=x的解的個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點個數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=x圖象交點的個數(shù)，根據(jù)函數(shù)y=f（x）的解析式，我們在同一坐標(biāo)系中分別畫出兩個函數(shù)圖象由圖象即可求出兩個函數(shù)的交點個數(shù)，即函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點個數(shù)．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}（x≤0）}\\{f（x-1）（x＞0）}\end{array}\right.$，則函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點個數(shù)等價于
函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=x圖象交點的個數(shù)，
∵當(dāng)x＞0時，f（x）=f（x-1）
∴f（x）是周期函數(shù)，
當(dāng)0＜x≤1，則x-1≤0，
∴f（x）=f（x-1）=（x-1）²，
在同一坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)圖象如下圖所示：

由圖可知函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=x圖象共有2個交點．
故函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點的個數(shù)有2個．
故選：B．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)零點的判定定理，其中將求函數(shù)零點的問題轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)圖象交點的問題是解答本題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題．