Question

求證：函數(shù)f（x）=x²+|x+a|+1是偶函數(shù)的充要條件是a=0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分別從充分性和必要性兩個(gè)方面利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行證明．

解答： 證明：充分性：若a=0，則函數(shù)f（x）=x²+|x+a|+1是偶函數(shù)．
因?yàn)閍=0，所以f（x）=x²+|x|+1（x∈R），
又因?yàn)閒（-x）=（-x）²+|-x|+1=x²+|x|+1，所以f（x）是偶函數(shù)．
必要性：若f（x）=x²+|x+a|+1是偶函數(shù)，則a=0．
因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），即
（-x）²+|-x+a|+1=x²+|x+a|+1，
所以x²+|x-a|+1=x²+|x+a|+1，
從而|x-a|=|x+a|，因此（x-a）²=（x+a）²，
展開(kāi)整理，得ax=0．因?yàn)閤∈R，所以a=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了充要條件的命題證明以及函數(shù)奇偶性的證明；對(duì)于充要條件的證明要分別從充分性和必要性兩個(gè)方面分別證明．