Question

對于定義域為A的函數(shù)y=f（x），若同時滿足下列條件：①f（x）在A內(nèi)具有單調(diào)性；②存在區(qū)間[a，b]⊆A，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]；則稱f（x）為閉函數(shù)．
（Ⅰ）求閉函數(shù)y=-x³符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）=

3

2

x+

1

x

(x＞0)是否為閉函數(shù)？并說明理由；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）=k+

x+3

是閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),進行簡單的合情推理

專題：計算題,新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意，y=-x³在[a，b]上遞減，由新定義，得到方程，解得a，b即可得到所求區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)f(x)=

3

2

x+

1

x

(x＞0)不是閉函數(shù)．可通過取特殊值檢驗即可判斷；
（Ⅲ）由新定義即有a，b為方程x=k+

x+3

的兩個實根，即方程x²-（2k+1）x+k²-3=0（x≥-3，x≥k）有兩個不等的實根．對k討論，當(dāng)k≤-3時，當(dāng)k＞-3時，運用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到不等式組解得即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，y=-x³在[a，b]上遞減，
則

b=-a3 a=-b3 b＞a

解得

a=-1 b=1

，
所以，所求的區(qū)間為[-1，1]；
（Ⅱ）函數(shù)f(x)=

3

2

x+

1

x

(x＞0)不是閉函數(shù)．
理由如下：取x₁=2，x₂=4，則f(x1)=

13

4

＜f(x2)=

25

4

，
即f（x）不是（0，+∞）上的減函數(shù)．
取x1=

1

3

，x2=

1

6

，則f(x1)=

7

2

＜f(x2)=

25

4

，
f（x）不是（0，+∞）上的增函數(shù)，
所以，函數(shù)在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)；
（Ⅲ）若y=k+

x+3

是閉函數(shù)，則存在區(qū)間[a，b]，在區(qū)間[a，b]上，
函數(shù)y的值域也為[a，b]，即

a=k+ a+3 b=k+ b+3

，
即有a，b為方程x=k+

x+3

的兩個實根，
即方程x²-（2k+1）x+k²-3=0（x≥-3，x≥k）有兩個不等的實根．
設(shè)g（x）=x²-（2k+1）x+k²-3
當(dāng)k≤-3時，有

△＞0 g(-3)≥0 2k+1 2 ＞-3

，解得-

13

4

＜k≤-3．
當(dāng)k＞-3時，有

△＞0 g(k)≥0 2k+1 2 ＞k

，無解
綜上所述，k∈(-

13

4

，-3]．

點評：本題考查新定義的理解和運用，考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．