Question

18．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥CD，PA=AD，M、N分別為AB、PC的中點(diǎn)．求證：
（Ⅰ）MN∥平面PAD；
（Ⅱ）MN⊥CD；
（Ⅲ）MN⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中點(diǎn)E，并連結(jié)NE、AE，證明四邊形AMNE為平行四邊形，可得AE∥MN，即可證明MN∥平面PAD；
（Ⅱ）證明CD⊥平面PAD，可得CD⊥AE又AE∥MN，即可證明MN⊥CD；
（Ⅲ）證明AE⊥平面PCD又AE∥MN，即可證明MN⊥平面PCD．

解答 證明：（Ⅰ）取PD中點(diǎn)E，并連結(jié)NE、AE，
∵M(jìn)、N分別為AB、PC的中點(diǎn)
∴NE∥CD且$NE=\frac{1}{2}CD$，AM∥CD且$AM=\frac{1}{2}CD$，
∴AM∥NE且AM=NE，
∴四邊形AMNE為平行四邊形，
∴AE∥MN，
又∵AE?在平面PAD，MN?在平面PAD，
∴MN∥平面PAD；
（Ⅱ）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD⊥CD，
又PA⊥CD，PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD．
又∵AE?在平面PAD，
∴CD⊥AE．
又∵AE∥MN，
∴MN⊥CD；
（Ⅲ）∵PA=AD，E為PD中點(diǎn)，
∴AE⊥PD，
又∵CD⊥AE，
∴AE⊥平面PCD．
又∵AE∥MN，
∴MN⊥平面PCD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、垂直的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用線面平行、垂直的判定定理是關(guān)鍵．