Question

（x²-x+2）⁵的展開式中x³的系數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：先求得二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于3，求得r、r′的值，即可求得x³項(xiàng)的系數(shù)．

解答： 解：式子（x²-x+2）⁵ =[（x²-x）+2]⁵的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=

C

r 5

•（x²-x）^5-r•2^r，
對(duì)于（x²-x）^5-r，它的通項(xiàng)公式為T_r′+1=（-1）^r′•

C

r′ 5-r

•x^10-2r-r′，
其中，0≤r′≤5-r，0≤r≤5，r、r′都是自然數(shù)．
令10-2r-r′=3，可得

r=2 r′=3

，或

r=3 r′=1

，
故x³項(xiàng)的系數(shù)為

C

2 5

•2²•（-

C

3 3

）+

C

3 5

•2³•（-

C

1 2

）=-200，
故答案為：-200．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．