Question

20．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，0＜ω＜2，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的一系列對應(yīng)值如下表：

x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{4π}{3}$	$\frac{11π}{6}$	$\frac{7π}{3}$	$\frac{17π}{6}$
y	-1	1	3	1	-1	1	3

（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x） 的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若對任意的實(shí)數(shù)a，函數(shù)y=f（kx）（k＞0），x∈（a，a+$\frac{2π}{3}$]的圖象與直線y=1有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，又當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{3}$]時(shí)，方程f（kx）=m恰有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)，求出T、ω和A、B的值，寫出f（x）的解析式即可；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出函數(shù)f（x） 的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）由函數(shù)y=f（kx）的最小正周期求出k的值，再利用換元法，令t=3x-$\frac{π}{3}$，結(jié)合函數(shù)的圖象求出方程f（kx）=m恰有兩個(gè)不同的解時(shí)m的取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)，得T=2×[$\frac{5π}{6}$-（-$\frac{π}{6}$）]=2π，
又ω＞0，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=1，
且A=2，B=1，
∴f（x）=2sin（x+φ）+1，
∴f（$\frac{5π}{6}$）=2sin（$\frac{5π}{6}$+φ）+1=3，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{3}$；
函數(shù)y=f（x）的解析式為f（x）=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+1；
（2）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{6}$+2kπ≤x＜$\frac{5π}{6}$+2kπ，
∴函數(shù)f（x） 的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-$\frac{π}{6}$+2kπ，$\frac{5π}{6}$+2kπ]，（k∈Z）；
（3）由已知得函數(shù)y=f（kx）=2sin（kx-$\frac{π}{3}$）+1的最小正周期為$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{2π}{|k|}$=$\frac{2π}{3}$，
又k＞0，∴k=3；
令t=3x-$\frac{π}{3}$，x∈[0，$\frac{π}{3}$]，
∴t∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
又函數(shù)y=sint在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞增，在[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]上單調(diào)遞減，
且sin$\frac{π}{3}$=sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，如圖所示；
∴sint=s在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]上有兩個(gè)不同的解，等價(jià)于函數(shù)y=sint與y=s的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴s∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
∴方程f（kx）=m恰有兩個(gè)不同的解，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[$\sqrt{3}$+1，3）．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)與方程的應(yīng)用問題，是綜合性題目．