Question

12．如圖，在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=$\sqrt{2}$，CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BC=1．將ABCD（及其內(nèi)部）繞AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成一個幾何體．
（1）求該幾何體的體積V；
（2）求該幾何體的表面積．

Answer 1

分析 （1）分別求出圓錐和圓柱的體積，再相加即可；
（2）幾何體的表面積分為三部分，即圓柱的底面積，側(cè)面積和圓錐的側(cè)面積，分別求出各部分面積相加即可．

解答 解：（1）幾何體為圓柱與圓錐的組合體，
圓錐和圓柱的底面半徑為r=BC=1，圓錐的高為h₁=AB-CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，圓柱的高h(yuǎn)₂=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴V=$π×{1}^{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{3}π×{1}^{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$π．
（2）圓錐的母線長l=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴幾何體的面積S=π×1²+π×1×$\frac{\sqrt{6}}{2}$+2π×1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=π+$\frac{\sqrt{6}}{2}$π+$\sqrt{2}$π．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，體積，表面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．