Question

3．已知函數f（x）=2cos[ω（x+φ）]（ω＞0，0＜φ＜π）．
（1）若函數f（x）圖象過點（0，-2）且圖象上兩個對稱中心A（x₁，0）與B（x₂，0）間最短距離為$\frac{π}{2}$，求函數f（x）解析式；
（2）若$φ=\frac{π}{2}$，函數f（x）在[-$\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}$]上單調遞減，求ω的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得函數f（x）的周期，可得ω值，代點可得φ值，可得解析式；
（2）由x的范圍結合余弦函數的單調性可得ω的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）圖象上兩個對稱中心A（x₁，0）與B（x₂，0）間最短距離為$\frac{π}{2}$，
∴函數f（x）的周期T=π，∴ω=$\frac{2π}{T}$=2，
又f（0）=2cos2φ=-2，即cos2φ=-1，
∵0＜φ＜π，∴0＜2φ＜2π，∴2φ=π，∴φ=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=2cos[2（x+$\frac{π}{2}$）]=-2sin2x；
（2）∵x∈[-$\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}$]，∴x+$\frac{π}{2}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∵ω＞0，函數f（x）在[-$\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}$]上單調遞減，
∴根據題意有$\frac{ωπ}{6}$≥2kπ且$\frac{7ωπ}{6}$≤2kπ+π，
解得12k≤ω≤$\frac{12k+6}{7}$，k∈Z
結合題意可得k=0時，0＜ω≤$\frac{6}{7}$．

點評 本題考查余弦函數圖象，涉及函數的單調性，數形結合是解決問題的關鍵，屬中檔題．